Tegyük fel, hogy ezt a konkrét összeadást a történelem során még soha senki nem végezte el. (Ha zavar ez a hamis feltevés, válassz két 200 jegyű számot!) Na és!? – mondod te. Az összeadás szabályait nem befolyásolja, hogy egy konkrét összeadást elvégeztek-e korábban, márpedig e szabályok mindig meghatározzák az eredményt. De vajon biztos ez?
Ám léptessünk színre valakit, akiről tudod, hogy ugyanúgy tud összeadni, mint te – mondjuk egy általános iskolai osztálytársadat. Az illető – nevezzük Kripkensteinnek – azt mondja, hogy 68+57=5.
Na ne izélj már! – feleled. Egyszerűen csak úgy kell elvégezned az összeadást, ahogy mindig is csináltad, és megkapod a helyes eredményt.
Mire Kripkenstein: de hát pontosan ugyanúgy adtam össze ezt a két számot, ahogy bármilyen másik két számot összeadok.
Dehogy is, nem ugyanazt csinálod! – emeled meg a hangot. Nézz ide, írom: 8 meg 7 az 15; leírom az 5-öt, marad 1; 6 meg 5 az 11, meg 1 az 12. Látod? 125.
Kripkenstein értetlenkedve rázza a fejét. Nem! – mondja. 8 meg 7 az 15; leírod az 5-öt; s ezzel végeztél is, mert a 8 előtt 6 áll, a 7 előtt pedig 5; tehát az eredmény 5.
Nagy levegőt veszel. – Úgy látszik nem érted. Az összeadás lényegében összeszámlálás. Leszámolok először 68 gyufaszálat. 1, 2, …, 68. Aztán 57-et, így ni. Aztán összetolom a gyufaszálakat, és leszámlálom: 1, 2, …, 125.
Szó sincs róla, válaszolja Kripkenstein, ez nem összeszámlálás. Add csak ide! Azzal akkurátusan leszámol először 68, majd 57 gyufaszálat, összetolja a két halmot, majd leszámlál belőle 5-öt.
De nem! (A szomszéd asztalnál ekkor felkapják a fejüket, a kidobó ember egy lépéssel közelebb húzódik.) Vegyünk valakit, aki soha életében nem tanult matekot. Hagyjuk, hogy megfigyelje, hogyan adunk össze, illetve hogyan számlálunk össze az olyan esetekben, amelyekben nincs köztünk nézetkülönbség. Aztán te is, meg mi is elvégezzük az összeadást 68+57-re. És akkor megkérdezzük ezt a semleges megfigyelőt, hogy melyikünk csinálta ugyanazt, amit korábban, vagyis melyikünk követte a szabályt. Tutira azt fogja minden, hogy én.
Hát az lehet, feleli Kripkenstein, de mit számít ez? Ez csak azt mutatja, hogy az illető a te eljárásodat tartja természetesnek. Ha úgy tetszik, gondolkodási hajlamai inkább a tiédnek felelnek meg. De a kérdés nem az, hogy mit találunk természetesnek, illetve milyenek gondolkodási hajlamaink. A kérdés az, hogy melyik a helyes eredmény. A természetesség irreleváns a helyességre nézve. Például természetes hajlamaink alapján azt mondanánk, hogy több egész szám van, mint páros szám, holott egy fenét.
Ha Kripkensteinnek igaza van, tévedés azt állítani, hogy a szabály az új esetekben is meghatározza az eredményt. Az eddigi gyakorlat többféle módon is kiterjeszthető az új esetekre. Ezek között vannak természetesebbek, de ami bennünket érdekel, az az, hogy melyik a helyes. Melyik az eddigi gyakorlat helyes folytatása, melyik a szabály helyes alkalmazása az új esetben. Ezt pedig semmilyen velünk kapcsolatos múltbeli tény nem határozza meg.
És ez természetesen általánosítható minden szabályra. Azt mondanád, hogy amit most olvastál, az egy blogbejegyzés a magyar nyelv szabályainak megfelelően. De jön Kripkenstein, s azt mondja, hogy ez egy regény… Meg tudnád győzni?
Kripke és Wittgenstein nyomán
szemet 2015.09.19. 13:52:58
Ez alapján számomra elég egyértelmü: en.m.wikipedia.org/wiki/Successor_function
Ugyanazon definícióval ugyanazt az eredményt kell kapnunk.
1. Ha eltér a definíciónk megállapohatunk, hogy máshogy nevezzük a két műveletet.
2. De tfh. ő mást ért a fenti definiáló szavakon és jeleken is mint én. Ekkor mivel a szavak/mondatok jelentését konvenciók határozzák meg (nem automatikusan kötődnek a jelek a jelölthöz), azt lehet megnézni ki tart a többséggel, a másik ugyanis kommunikáció során hátrányban lesz (a legtöbben félre fogják érteni) . Egy analógia:
az sem nem mindegy h. 1 ember hajt veled szemben az autópályán vagy mindenki (pedig a menetirány szintén csak konvenció... )
FMR 2015.09.19. 17:09:15
Megyko · http://www.szinkronrendezo.blog.hu 2015.09.19. 19:41:47
- duplagondol 2015.09.19. 21:11:13
Perde Dóra 2015.09.19. 21:12:40
Szóltam is a tralfamadori barátaimnak, mindjárt itt vannak. Téged és a feleségedet elvisznek magukkal és a Tralfamadoron egy állatkertben mutogatnak majd egy üvegbúrában, egy hónapig.
Te 68 konzervet eszel meg egy hónap alatt, a feleséged 57-et.
Tessék, itt van az 5 konzerv, mehettek is.
Nem fog fájni, csak mosolyogjál!
szemet 2015.09.19. 21:43:38
Tehát bizonyos fejlettségi szint felett nincs olyan hogy a két eltérő szabályosság nem fejezhető ki egymás számára egyértelműen, csak erőlködni kell...
Pl. mondjuk végül kiderülhet hogy nála a + jel definíciója csak a mod 120 maradékosztályban létezik nálam meg mondjuk az egész számok halmazán értelmezett. És akkor minenki fellélegzik - megint értjük egymást.
fordulo_bogyo 2015.09.19. 22:38:34
Pierr Kardán 2015.09.19. 22:51:47
Szyl 2015.09.19. 22:55:33
Pierr Kardán 2015.09.19. 22:55:51
Viszont nincs olyan számrendszer, amiben a 68+57 egyenlő lenne 5-el...
FMR 2015.09.19. 23:13:59
eLzsÉ 2015.09.19. 23:39:21
A fenti logikával 9+9=18 lenne, mert úgy tűnik egyjegyű számokat hajlandó normálisan összeadni.
Viszont 10+9=9.
Mármost hogyan lehet két olyan szám összege, melyek közül az egyik ugyanakkora, a másik meg nagyobb, mint az előző összegnél, kisebb?
Vagy az se biztos, hogy 10 nagyobb mint 9?
FMR 2015.09.20. 00:03:52
58múltam 2015.09.20. 01:27:51
Sajnálom, ha ezzel az irodalmi és filozófiai tartalmat elrontom.
eLzsÉ 2015.09.20. 01:31:09
Értem én, hogy mit akar Kripkenstein ezzel az egésszel, végül is a filozófusok ilyeneken elmélkednek, hogy mi a helyes, az etikus, a természetes, stb.
Csak amikor ehhez hasonlóan megpróbálják azt köznyelvi szintre profanizálni és ehhez valamilyen természettudományos példát hoznak fel, akkor szükségszerűen elbuknak, mert ott nem véleményes, hogyan adunk össze.
1-2 éve olvastam egy teljesen hasonló filozófiai okfejtést, a részletekre már nem emlékszem, csak arra, hogy közben a filozófus olyan durva morfológiai képtelenségeket állított, mint tényszerű igazságot, hogy csak a fejemet fogtam.
58múltam 2015.09.20. 01:31:20
eLzsÉ 2015.09.20. 01:41:29
Ez két okból sántít ebben az esetben.
Egyrészt attól, hogy a szögmérőn ugyanoda jutottunk, még összeadtuk a számokat. Rendesen, nem csak az utolsó számjegyeket.
Hasonlóképpen az óránál, nem azért jutunk 5-re, mert a 8+7=5.
Valamint azért, mert attól, hogy 5-re jutunk, még nem 5 perc telt el, hanem 65.
És ha egy kör kerületén megyünk előre 5-öt és 365-öt, nem ugyanakkora utat teszünk meg, bár végeredményben ugyanott fogunk állni.
És hát ha valamilyen speciális elv alapján adunk össze számokat, akkor nem árt azt az elvet közölni a közönséggel, nem elég, ha csak azt mondjuk ennyi és kész, mert én így adok össze.
- duplagondol 2015.09.20. 03:58:56
Szádbafingok 2015.09.20. 05:37:48
És ez is helyes.
Flúgatlan 2015.09.20. 07:55:01
"Az eddigi gyakorlat többféle módon is kiterjeszthető az új esetekre." Csakhogy a számolásnál nem "gyakorlat kiterjesztéséről" van szó, hanem axiomatikusan felépített szabályrendszerből levont következtetésről. Ha elfogadod az axiómákat és következetesen gondolkodsz, ugyanarra az eredményre jutsz mindig.
Az élet sok más területén nincsenek ilyen axiómarendszerek, ezért a helyzet nem ilyen egyszerű, de a számolást ilyen példának felhozni épp ezért csak zavart teremt. Ámbár lehetett épp ez a cél, csak én nem értékelem.
protézisesh 2015.09.20. 08:07:15
Ansys 2015.09.20. 08:43:26
dr. mesterséges színezék 2015.09.20. 09:36:25
Nem ennyire jó a helyzet: akik tényleg komolyan állítják, hogy 68+57=5, azok nem csak választanak, de már meg vannak választva.
dr. mesterséges színezék 2015.09.20. 09:38:24
Ez a megszmámlálható végtelen természetes naiv megközelítése.
Bella Amoros 2015.09.20. 09:41:26
szamaritánus 2015.09.20. 09:45:58
antikommm 2015.09.20. 10:18:31
ipartelep · http://ipartelep.blog.hu 2015.09.20. 10:20:45
Tehát: az összeadásnak vannak bizonyos helyes, jó, bevált szabályai. A "helyes" szó itt egyszerűen azt jelenti, hogy csak azokat betartva lesz jó a művelet, és bármilyen más szabály, eljárás követése esetén rossz lesz a művelet, és az eredmény. (Még most is oké?)
Innentől már egyszerű a helyzet: azok a szabályok a helyesek, amelyeket én mutattam (alkalmaztam) neked, kedves kis butuska Kripkenstein. A te eljárásodban ezzel szemben egyrészt nem körvonalazódott szabályszerűség, másrészt - és végül is ez itt a lényeg - ha van is rá valami szabályod, az nem (a) helyes szabály. A te szabályod nem jó, és nem működik, nem alkalmas az összeadásra.
Azt, hogy melyik eljárás a helyes, és melyik a helytelen a világ legegyszerűbb dolga a gyakorlatban (tapasztalatilag)is ellenőrizni. Pl. választhatsz: vagy most azonnal kapsz tőlem 68+57 pofont (ami ugye az én szabályaim szerint 125, a te szabályod szerint csak 5), vagy kapsz tőlem 10 pofont. A te szabályod szerint az elsőt kell választanod, hiszen az 5 fele a 10-nek. Erre a tévedésedre majd akkor fogsz rájönni, amikor szépen sorban elkezdem adagolni a pofonokat (közben húzzuk a strigulákat is), valahol az 5-en túl. (Mivel igen lassúnak tűnik a felfogásod, talán olyan 50 körül.)
Vagy még ott sem kedves Kripkenstein. Ugyanis ahhoz, hogy valaki a leges-legalapvetőbb matematikai műveletet ne értse, ahhoz emberi szinten nagyon alacsony intelligenciával kell rendelkeznie (mert még a fejlettebb állatok is, ugye...). Mivel az ember értelmi képességei bizonyos mértékig összefüggenek (és egymásból adódnak), neked beszélni sem szabadna, és gondolkodni is csak igen mérsékelten. De mivel hallhatóan beszélsz, sőt értelmes, bár most (konkréten helytelen, hamis) dolgokat mondasz, itt valami feloldhatatlan ellentmondás van a példázatban. Ilyen csak fiktíven létezhet, a valóságban nem.
Vagyis ez az egész példázat csak merő fikció. Te nem létezel, ilyen ember nincs, és agy a pofonoktól is megmenekülsz.
A példázatnak viszont filozófiailag nagyon is van értelme. (Ezt csak azoknak a lükéknek írom, akik sosem értik meg a kapcsolatot egy-egy filozófiai probléma konkrét megjelenése (formája), és a benne elvonatkoztatott elvont gondolattartalom között.) Ez az értelem nem csak az, hogy elgondolkodtat a problémán, miáltal is forognak az agytekervények, és később jön az Alzheimer (vagyis egészségügyi), hanem az is, hogy kicsit jobban, mélyebben értjük a világ működését.
ludwigvan 2015.09.20. 12:22:25
Viszont az, hogy a végtelen csakis ugyanolyan sok lehet, az teljesen megegyezés kérdése. Hiszen, ha azt mondanánk, hogy a nullával való osztás mégiscsak értelmes, akkor 1/0=a, és 2/0=b esetében, habár a is, b is végtelen, b=2a; ugyanígy ha az egész számokból x darab van, és a páros számokból y, akkor bizony x=2y, szóval kétszer annyi egész szám van, mint páros.
Ez persze egy filozófiai kérdés vagy állítás, vitatkozni lehet rajta.
gigabursch 2015.09.20. 12:50:34
Ötletes érvelés
@58múltam: @ludwigvan:
Végre valaki gondolkodik
(már csak Krpili logikáját nem értem)
@Szádbafingok:
Jájjjjj :-)
@antikommm:
Nem ismered a régi viccet:
- Miért ülnek a színházban az első sorban a kopaszok és a másodikban a félkezűek?
- ???
- Hogy a félkezűek is tudjanak tapsolni...
ipartelep · http://ipartelep.blog.hu 2015.09.20. 13:24:51
Itt azonban nem ez a helyzet, hanem absztrakt természetes számok közönséges összeadásáról van szó, mégpedig 10-es számrendszerben. Ezek amolyan evidensnek tekintett implicit előfeltevések, amiket a poszter nyilván azért nem írt bele a szövegbe, mert akkor még őt néznék hülyének, hogy miért írja le a teljesen nyilvánvalót.
Elmondom, hogy mi ebből a filozófiai tanulság:
Amikor egy szöveget olvasunk, és értelmezünk, az mindig "tele van", pontosabban, kapcsolódnak hozzá ezek az implicit előfeltevések. Ezek egy része evidencia, egy másik részük esetleg nem az. Hogy melyik mennyire (evidencia-vagy sem), az nagymértékben függ a szöveg megfogalmazásától, és az olvasó interpretációs képességeitől (mondjuk így szépen). Ha minden ilyen implicit előfeltevést explicit módon tisztázni- és magyarázni szeretnénk, akkor ahhoz egy kisregényt kellene írni, és a magyarázatokkal vissza kellene menni majdnem az ősrobbanásig (és még akkor is sok értetlen ember maradna). tehát ez nem műxik. Ehelyett az marad, hogy az író feltételez bizonyos fokú értelmet, és belátást az olvasóktól, vagyis azt, és annyit, hogy megértik a "szövegkörnyezetet", és a kiinduló terepet. És ha mégsem értik meg, akkor jön a sok félrebeszélés.
szemet 2015.09.20. 13:51:11
Ezen szkeptikus érvek legtöbbjével egyébként meg az a helyzet, hogy analitikus érveléssel kb. addig jutnak, hogy "lehetetlen a tökéletes ...", de utána már azzal, hogy a hétköznapi "heurisztikák" (a tökéletes ilyen olyan közelítései) mennyire jól működnek nem nagyon foglalkoznak. (Pedig ez lenne a következő, és már praktikusan is hasznos kérdés.)
Így aztán ha ezek a heurisztikák az átlagember szerint jól (vagy éppen szinte hibátlanul) működnek, a filozófusok hirtelen teljesen hülyének néznek ki, amikor tagadják a "helyes" működés elvi lehetőségét is.
(De szegényeknek meg muszáj ragaszkodniuk ahhoz, hogy a szkepticizmusuk gyakorlati problémákat is okozhat (akkor is ha nem), mert különben ki lenne rájuk kíváncsi, nemde? ;)
drabanten 2015.09.20. 13:57:26
2 végtelen halmaz egyenlősége nem filozófiai kérdés, hanem matematikai. 2 végtelen halmaz akkor egyenlő, ha az egyik halmaz minden tagjához egyértelműen és kizárólagosan hozzá lehet rendelni a másik halmaz tagjait. A pozitív egész számok halmazával és a pozitív páros számok halmazával ezt meg lehet tenni. Ha a pozitív egész számok halmazának bármelyik tagját megszorozzuk 2-vel, így egyértelműen és kizárólagosan hozzárendeltünk egy tagot a pozitív páros számok halmazából. Ez fordítva is megtehető, a pozitív páros számok halmazának bármelyik tagját osztjuk 2-vel, így egyértelműen és kizárólagosan hozzárendeltünk egy tagot a pozitív egész számok halmazából. Így midkét halmaznak végtelen, de pontosan ugyan annyi tagja van. Ugyanakkor az is igaz, hogy a pozitív páros számok halmaza a pozitív egész számoknak egy részhalmaza. Itt tehát nem érvényes az, hogy " az egész nagyobb, mint a rész".
ludwigvan 2015.09.20. 14:14:16
ludwigvan 2015.09.20. 14:18:28
De mivel a számsor nem fordul, ezért az ő számítása hibás.
dr. mesterséges színezék 2015.09.20. 14:21:27
Nagyjából a 2. pertől a 7-ig felvázolja a lényeget - de az is érdekes, amiért felvázolja.
Szalacsi_Dezső 2015.09.20. 14:33:42
Tomóceusz Katatiki legyek, avagy Gyugyu? :-)))))))
drabanten 2015.09.20. 19:25:07
Ezt természetesen meg lehet tenni, a pozitív páros számok halmazának minden tagjához hozzá lehet rendelni nem csak 2, hanem bármely tetszőleges számú tagot a pozitív egész számok halmazából úgy, hogy mind a két halmaz mindegyik tagja fel lesz használva, és csak csak egyszer lesz felhasználva. Ezt fordítva is meg lehet tenni, a pozitív egész számok halmazának minden tagjához hozzá lehet rendelni tetszőleges számú tagot a pozitív páros számok halmazából úgy, hogy mind a két halmaz mindegyik tagja fel lesz használva, és csak csak egyszer lesz felhasználva. Ez a 2 halmaz egyenlőségén nem változtat. 2 végtelen halmaz egyenlősége attől függ, hogy lehetséges-e a 2 halmaz tagjainak egyértelmű és kizárólagos egymáshoz rendelése. Ez nem mindíg lehetséges, de a pozitív egész számok halmaza és a pozitív páros számok halmaza esetén lehetséges.
ludwigvan 2015.09.20. 20:01:15
drabanten 2015.09.20. 21:23:21
Ez is jó példa, mert ezt is meg lehet fordítva is tenni. A pozitív egész számok halmazának minden tagjához hozzá lehet rendelni 3 (vagy tetszőleges számú) tagot a hárommal osztható pozitív számok halmazából úgy, hogy mind a két halmaz minden tagja fel lesz használva, és csak egyszer lesz felhasználva. Tehát 1-hez hozzájön a 3, 6, 9, 2-höz hozzájön a 12, 15, 18, etc... Ez folytatható a végtelenségig, ebből látszólag az jönne ki, hogy a hárommal osztható pozitív számok halmaza háromszor annyi elemet tartalmaz, mint a pozitív egész számok halmaza. De mivel itt is működik az, hogy a 2 halmaz tagjai egyértelműen és kizárólagosan egymáshoz rendelhetők, mind a 2 halmaz végtelen számú de ugyan annyi elemet tartalmaz. Egy lényeges pont itt, hogy végtelen halmazok esetében véges számmal való összeadás, kivonás, szorzás és osztás másképp működik. A pozitív egész számok halmaza +1 nem változtat semmit. Ezek a műveletek nem változtatanak a végtelen halmaz nagyságán, de változtathatnak a halmaz egyéb tulajdonságain. A pozitív páros számok halmaza +1 nem változtat a halmaz nagyságán, de egy olyan új halmazt kapunk, aminek 1 tagja nem páros szám. Ugyanígy, a pozitív egész számok halmaza szorozva 2-vel nem változtat a halmaz nagyságán, de egy olyan új halmazt kapunk, aminek minden tagja páros szám.
Krisz_ 2015.09.20. 21:26:10
"Egyrészt attól, hogy a szögmérőn ugyanoda jutottunk, még összeadtuk a számokat. Rendesen, nem csak az utolsó számjegyeket."
Nem feltétlenül. Lehet úgy is, ahogy te írod, de lehet másképp is. Ha mondjuk mod 100 adsz össze, akkor elég csak az utolsó két számjegyet figyelni. Moduló 120-nál nem épp számjegyek vannak, de csak a 120 alatti rész az érdekes. Pontosan így adnak össze egész számokat a számítógépek, csak mondjuk az utolsó 64 db bináris számjegyet nézve. Vagyis nem adnak össze "rendesen".
"Valamint azért, mert attól, hogy 5-re jutunk, még nem 5 perc telt el, hanem 65."
Ha az érdekel, hány perc telt el, az nem mod összeadás, ebben igazad van. Ha az érdekel, mit mutat a nagy mutató, és más nem, akkor az mod 60 összeadás.
"És ha egy kör kerületén megyünk előre 5-öt és 365-öt, nem ugyanakkora utat teszünk meg, bár végeredményben ugyanott fogunk állni."
Ha azt számolod, mekkora utat tettél meg, az nem mod összeadás, igaz. Ha azt számolod, hogy a végén hol állsz, az mod összeadás. Mondok két példát, mindkettő hajós lesz.
Az első: vitorlásversenyeken kisebb szabálytalanságokért nem zárnak ki, de büntetést kell végrehajtani. Ami a Forma 1-ben a box utcában való áthajtás, az itt a 720 fokos fordulás. Kettőt kell fordulnod, amivel időt veszítesz, ez a bünti. Itt számít, "mennyi utat tettél meg" az iránytűvel, ez tehát nem mod összeadás.
A második: kelet fele tartasz, az irányod 90 fok. Azt mondja a kapitány, hogy irány észak, az új irány legyen pontosan 10 fok. Ekkor fordulhatsz balra, 80 foknyit (90-80=10). Ha azonban ebben valami akadályoz (ott egy másik hajó, csak jobbra megy a kormány, stb.), akkor fordulhatsz jobbra is 280 foknyit, az új irány ugyanúgy 10 fok lesz: 90+280=10. Ez tehát valóban mod 360 összeadás.
Krisz_ 2015.09.20. 22:36:06
Az a baj, hogy a bejegyzés szerzője is picit ez a kategória. Rossz példát választott, mert a matek nem úgy működik, ahogy ő gondolja és e posztban utal rá.
Matekkal példálózni azért veszélyes, mert elég egzaktul be lehet bizonyítani, hogy kinek van igaza, és kinek nincs.
Cserébe a matematikusok (én nem vagyok az) általában elég türelmesek és szívesen elmondják, hogy hol tévedett az illető és hogy van jól.
Krisz_ 2015.09.20. 23:14:21
Valóban, a matematikában bárkinek joga van új jelöléseket, új függvényeket, stb. bevezetni. Ha pedig mások úgy gondolják, hogy ez célszerű, hasznos számukra, akkor használják, ha nem, nem, ez ennyi.
Az általad kifogásolt gyökkel az van, hogy valós számok felett az x*x=b-nek (b>=0) két megoldása is van x-re. Sokszor azonban kényelmesebb egy olyan függvényt használni, ami egy (vagy több) valóst egyetlen valósra képez le, így megállapodás szerint gyök(b)>=0, de persze az egyenletet a -gyök(b) is kielégíti. Van némi "szívás" a +- -szal, de máshogy még macerásabb lenne.
Amúgy komplex számok esetén a dolog cifrább, mert ott pl. valóban 3 különböző megoldása van az x*x*x=1-nek, és nem ússzuk meg egy +- jellegű dologgal. Ld. hu.wikipedia.org/wiki/Egys%C3%A9ggy%C3%B6k
FMR 2015.10.10. 09:07:30
quodlibet 2015.10.19. 18:06:29
Inimma 2017.02.07. 15:53:41
dia.jadox.pim.hu/jetspeed/displayXhtml?docId=0000015378&secId=0001129027&mainContent=true&mode=html#Orkeny_Istvan-Egyperces_novellak-00260