A teknős nem csalt, csak értetlenségében arra mutat rá - és ez ennek a történetnek a tanulsága -, hogy a logikai igazságok és a valóság természete, az empirikus igazságok nem feltétlen esnek egybe, sőt, leginkább differálnak. A logikai igazságok apodiktikus igazságok, minden elképzelhető világban igazak és kényszerítő erejű módon azok. Csakhogy az már merőben más kérdés, hogy a VALÓSÁG nem logikai természetű, mert mindig fennállhat olyan előre nem kalkulálható (empirikus) körülmény, amely végül meghiúsítja az adott premisszákból fakadó konklúziót, avagy a valóság aktuális kimenetelét. [David Hume híres megállapítása, mely szerint az implikáció ("ha, akkor" kapcsolat) nem szükszégszerű relációt jelöl, hanem pusztán szokáson (custom) alapul, szintén az empirikus világ nem logikai természetére utal. Vagyis, a példánál maradva, elképzelhető a valóságnak olyan forgatókönyve, amely szerint annak ellenére veszít Akhilleusz, hogy a premisszák igazak, velük a teknős egyet is ért, ám valamilyen nem várt körülmény következtében mégis de facto a teknős jut el a célba előbb. Pl. mert Akhiellusz szívrohamot kap a "verseny" közben.]

Senki?

@FMR: Carroll nem szokott ilyen "világi" dolgokra rámutatni. Egy "szó szerintibb" olvasat:

Akhilleusz le akarja vezetni Q-t P-ből és P→Q-ból. A teknős elfogadja, hogy P∧(P→Q) → Q, de nem fogadja el Q-t, azaz a leválasztási szabályt (MP). Akhilleusz tehát újra próbálkozik, ezúttal a teknős elfogadja, hogy P, P→Q, P∧(P→Q) → Q, de nem fogadja el Q-t, azaz MP-t, s.í.t.

A vita központi eleme tehát a leválasztási szabály, és ezt tényleg érdemes közelebbről megvizsgálni: MP ugyanis a logika egyedüli deduktív szabálya. A teknős felteszi a kérdést: miért kellene elfogadni MP-t, ha az nem következik a logika többi (explicit, nem deduktív) szabályából?

---

Szerintem az első igazán jó választ Gentzen adta meg, majd' fél évszázaddal később. A Gentzen-féle cut-elimination tétel szerint ha valami MP segítségével bizonyítható, akkor expliciten (MP használata nélkül) is. Ez tehát a logika igazi teljessége.

A teknősnek még csak nem is kell elhinnie a cut-eliminationt: elég, ha Akhilleusz ismeri a tételt, a bizonyítást ő maga is átírhatja explicit formába.

---

Pusztán kíváncsiságból kérdezem, te miben látod a logika kényszerítő erejét? Tudnád esetleg egy konkrét példán is szemléltetni?

/A helyzet az, hogy sajnos nem ismerem Gentzent illetve az említett Gentzen-féle cut-elimination tételt, de hát gondolom, ez már a logika mélyebb régióiba vezetnek, ahova én magamtól ritkán merészkedem. (Leginkább semmikor.) Mindazonáltal köszönöm, hogy leírtad a lényeget - abszolút érthető./

Nos, ahogy én látom, itt a következőről van szó. A példa ugyebár a szillogizmus példája itt, szemléletesen. Nem másról van itt szó, hogy amennyiben adott 2 premissza, abból következik egy konklúzió. Ez - vagyis a logikának ezen alapformulája - egy kikezdhetetlen relációt jelent, egy olyan immanens igazság hordozója, amely elvileg minden esetben igaz. A hangsúly itt az "elvileg" szón van: ugyanis - és itt van a csúsztatás a történetben - ha és amennyiben egyetért a teknős az összes felsorolt premisszával, akkor egyet kell értenie a belőlük fakadó konklúzióval is, mely konklúzió mintegy "önmagától" tárul fel igazságként az "őt" megalapozó premisszákból. Egy ilyen logikai struktúra igazsága intellegibilis igazság, vagyis olyan igazság, amelyet értelmileg ragadhatunk meg, a ráció erejénél fogva. Megfordítva mindezt: nem képzelhető olyan világ, ahol e formula (a szillogizmus) nem működne.

A valóság ügye persze más kérdés, és szerintem ez, a konklúziónak a valóságban (empirikus világban) való megtörténte az, amit elvitat a teknős. Mert egyetérthet azzal, hogy ha (A) Akhilleusz gyorsabb a teknősnél, akkor utoléri, illetve hogy (B) Akhilleusz gyorsabb a teknősnél. Ám e premisszából valóban nem következik de facto az, hogy Akhilleusz utol is éri a teknőst. Például azon egyszerű oknál fogva, hogy nem versenyeznek az életben. Valamely teoretikus igazság belátása egy dolog, a megtörténte a másik, hiszen ekkor ez az igazság csak mint faktum jelentkezhet. A teknős a faktumot vitathatja el joggal akkor, ha a premisszák által felvázolt tényállás a valóságban nem állnak fenn.

"Pusztán kíváncsiságból kérdezem, te miben látod a logika kényszerítő erejét? Tudnád esetleg egy konkrét példán is szemléltetni?"

Talán megválaszoltam ezt a kérdést fentebb, legalábbis részben. A logika kényszerítő ereje kizárólag az elméleti tudományok területén mutatkozik - és mutatkozhat - meg, különös tekintettel a matematikára. A valóság, az empíria, vagy akár a természettörvények világa más természetű, itt a logika igazsága csakis a valószínűség különböző mértékeiben mutatkozhat meg, éspedig azért, mert soha nem tudunk felvenni olyan ("isteni") perspektívát, amely alapján kijelenthető például az, hogy a kauzalitás minden körülmény között igaz. Mert ez nincs így. Csak mert bizonyos kauzális reláció működik 10000000 évig, nem biztos, hogy 10000001 évben is fennáll (valamely általunk eddig nem ismert körülmény, hatás, erő stb. hatására).

A logika kényszerítő erejére a legeklatánsabb példa a matematika világa. Nem létezik és nem is képzelhető olyan világ, amelyben az általunk megismert aritmetikai igazságok eltérnének.

(Elnézést a magyartalanságokért, elírásokért, de talán követhető így is a hozzászólásom. Iszonyú dekoncentrált vagyok most némi inszomnia fennállása okán.)