Zénón amellett érvelt, hogy nem éred el a buszt. Ott állsz, alig 1 méterre tőle, a sofőr sem zárja még az ajtókat, mégsem fog menni. Ahhoz ugyanis, hogy megtegyed az 1 métert, először meg kell tenned a felét, majd a maradéknak a felét, majd a maradéknak a felét, … Vagyis végtelen számú szakaszt kell megtenned, s erre, véges lény lévén, nem vagy képes. De – mondja Zénón – végső soron nincs miért szomorkodnod. Ugyan minek is szállnál fel a buszra? A busz úgysem visz sehova. Ahhoz ugyanis, hogy elvigyen valahova, először meg kell tennie a távolság felét, majd a maradéknak a felét, majd annak a felét…
Alig 2000 évvel később szerencsére rájöttünk a megoldásra: egy végtelen sorozatnak is lehet véges összege. Jelesül az
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 …
sorozat végtelenben vett határértéke 1. Szia Zénón, majd integetünk a buszról.
Azért még ne vegyük elő a zsebkendőt. Ahhoz, hogy felszálljunk, meg kell tennünk 1/2 métert, 1/4 métert, 1/8 métert … stb. Magyarán végtelen számú feladatot kell elvégeznünk véges idő alatt. Nevezzük az ilyen feladatokat szuperfeladatnak. A szuperfeladat megszámlálhatóan végtelen feladatból áll, és véges idő alatt kell teljesíteni. Mármost úgy tűnik, hogy a szuperfeladatok teljesítése logikailag lehetetlen. Lássunk két példát.
Este 11:59-kor ég a zseblámpád. 1/2 perccel később lekapcsolod, 1/4 perccel később meggyújtod, 1/8 perccel később eloltod… (Ne törődjünk azzal, hogy nem tudunk akármilyen gyorsan gombokat nyomogatni; a logikai lehetőség érdekel, nem a fiziológiai.) Ég a zseblámpád pontban éjfélkor? Lehetetlen, hogy égjen: bármilyen éjfél előtti időpontra, melyben ég, van olyan éjfélhez közelebbi időpont, amelyben nem ég. (Ha éjfél előtt 1/512 perccel ég, 1/1024 perccel később leoltod.) De ugyanilyen okból az is lehetetlen, hogy ne égjen: hiába nem ég a zseblámpád, és hiába van már majdnem éjfél, még éjfél előtt felkapcsolod. Márpedig éjfélkor vagy ég a zseblámpád, vagy nem. Ha a kapcsolgatós szuperfeladatból az következik, hogy nem igaz sem az, hogy ég, sem az, hogy nem ég, akkor a szuperfeladat elvégzése logikai ellentmondást foglal magába.
Második példa. Van egy végtelen nagy urna, amelybe végtelen számú golyó fér, és van végtelen számú golyó. (Igen, még mindig a logikai lehetőség érdekel.) Megint 11:59 van, s a feladatod az, hogy beteszel 10 golyót az urnába, és kiveszel 1 golyót. Ezt először 1/2 perc múlva kell megtenned, aztán 1/4 perc múlva, aztán 1/8 perc múlva, … Hány golyó lesz az urnában pontban éjfélkor? Erre két egyformán jó válasz lehetséges. Az első: minden egyes lépésben kilenccel növekszik a golyók száma. Mivel végtelen számú lépés van, a golyók száma 9 x végtelen, vagyis végtelen. A második: mivel végtelen számú lépés van, minden egyes golyóra áll, hogy valamelyik lépésben kiszedjük az urnából. Mivel valamennyi golyót kiszedjük, éjfélkor egyetlen golyó sem lesz az urnában. A végtelen nem egyenlő nullával, ezért az a feltevés, hogy a szuperfeladat elvégezhető, ellentmondáshoz vezet.
De ha 1 métert megtenni szuperfeladat, és a szuperfeladatok elvégzése logikailag lehetetlen, akkor nem szállhatsz fel a buszra. Úgyhogy sürgősen találj ki valamit, különben lemaradsz.
Zénón, James F. Thomson és Sheldon Ross nyomán
szemet 2014.11.01. 09:36:15
Az első feladat szituációja a gyakorlatban is megvalósítható. Megoldása jól ismert: a modellezés során a végtelen összeg véges határértékével kell számolni, így egy helyes és ellentmondásmentes modellt kapunk.
A második feladatnál gondoljuk végig, hogy mi lenne ha minden lépésben a betett 10 golyó egyike az előző lépésben kivett lenne.
A doboz tökéletesen ugyanazt golyó pakolást szenvedné el (10 be 1 ki a végtelenségig), és egyértelműen végtelen golyó kerülne bele. A kivett golyók halma mindig üres vagy csak 1 golyót tartalmaz.
Amennyiben már kivett golyót nem tehetnénk vissza a dobozba:
akkor a doboz tartalma végtelen maradna (ugyanazt a pakolást szenvedné el mint eddig), viszont a kivett golyók halma is végtelen lenne!
A két eljárásból úgy tűnik mintha az első esetben több golyó kerülne a dobozba, hiszen a második esetben kimentünk belőle egy végtelen kupacot.
A matematika válasza, hogy ezek mint azonos számosságú végtelenek, pont mint ahogy ugyanannyi szám van mint négyzetszám (minden számhoz tartozik négyzetszám), pedig a négyzetszámok ritkábbak.
Azaz mint ahogy végtelen egész számoknak van egy végtelen részhalmaza (négyzetszámok), ugyanúgy az 1. módon pakolt végtelen doboznak van egy végtelen részhalmaza amit a 2. féle pakolással külön gyűjthetünk.
Akinek az érzékei ez ellen tiltakoznak művelhet ettől tartózkodó matematikát:
en.wikipedia.org/wiki/Finitism
FMR 2014.11.01. 14:41:47
A megoldás banálisan pofonegyszerű: a valóság sruktúrája NEM logikai struktúra. Egyszerűbben: a valóság (és benne a hétköznapi, empirikus világ) merőben alogikus.
FMR 2014.11.01. 14:45:47
ipartelep · http://ipartelep.blog.hu 2014.11.01. 17:29:30
Tehát Besenyő Pista bácsi így vélekedik erről: Nooormális az a Zénón nevű bácsi? Hát ki látott már olyat, hogy egy, akár gyalogló ember, nem ám hogy futó, ne érne utol egy teknőst, ha az belátható távolságra van tőle? Ilyen a világon nincs... Akkor miről beszél a Zénón bácsi? Megmondom én, miről beszél, miért tévedt el az erdőben szegény. Azért, mert nem tudta, hogy mi a logika, és a matematika szerepe a világ megismerésében. A Zénón bácsi azt hitte, hogy a logika, matematika arra való, hogy leírja a világot, ábrázolja annak természetét. Nooormális? A logika, és matematika ilyenre sehogyan sem képesek. Példának okáért, a logika azt sem tudja megmondani, hogy most hány óra van. Ahhoz egy óra kell, amire ránézünk, és leolvassuk azt. A logika, és matematika csak arra jó, hogy a valóságleírásaink nem helyesek, ó nem, hanem legalább ellentmondásmentesek legyenek. És ha az ellentmondásmentességet biztosítják ezek az eszközök, akkor még mindig nem biztos, hogy a leírásaink helyesek. De ha van valamiről valami nyilvánvalóan helyes tapasztalatunk (Akhilleusz utoléri a teknőst), akkor igen nagy butaság azzal ellentétes logikai kifogást, leírást, modellt gyártani. Nooormális az ilyen?
A valóság az mindenképpen van. Ha a valóság ellentmondásos lenne, akkor nem létezhetne. De micsoda butaság már csak magában az is, hogy a valóság ellentmondásairól beszélnek? Nooormális? Csak a valóság leírása tud ellentmondani, vagy magának a valóságnak, vagy önmagának. Ha ez utóbbi a helyzet, akkor az egy önellentmondásos, "logikátlan" leírás. Ha az előbbi, akkor meg hamis leírás.
Zénón bácsi, egyre rövidebb idejű, de összességében végtelen számú feladata (a "szuperfeladat"), ezért, mint látjuk, a valóságban simán teljesíthető. Ha ilyenkor a valóság leírása, a logika, vagy bármely interpretáció, azt mondja, mutatja, hogy nem teljesíthető, akkor ott nem a valóság hibádzik (az nehezen is tudna), hanem a leírás. Vagyis Zénón bácsi rossz modellt állított fel, amikor azt feltételezte, hogy az egyre rövidülő, végtelen számú sor összege végtelen. De szerencsére később kiderült, hogy erre vannak jobb modellek is, amelyek már összhangban vannak a valóságban ténylegesen történtekkel. Senki nem noooormális, aki azt hiszi, hogy a logikai okoskodás felülírhatja, vagy alkothatja a valóságot. Csak követi azt, és ha jó, akkor valamennyire hozzásegít a magyarázat megértéséhez.
szemet 2014.11.01. 18:03:57
A határértékek képezik a modern diff. és integrál számítás alapját: en.wikipedia.org/wiki/Calculus#Limits_and_infinitesimals
A "valóság" milyensége lehet kérdéses, de az hogy - Newton óta - a valóságot leírni próbáló legsikeresebb fizikai modelljeink felépítésében ezek az eszközök végtelenül ;) hasznosnak bizonyultak, az nem.
A végtelen halmazok kardinalitását tényleg inkább csak "önmagáért" tanulmányozzák a matematikusok, ha a való világban nem is nyer közvetlen allalmazást, mivel a halmazelmélet a modern matematika egyik alapja, a területet matematikailag kimondottan relevánsnak tartják...
A filozófiának viszont itt már tényleg nem sok keresnivalója marad, a matematika szerintem ilyen szempontból meglehetősen zárt rendszer - az ott felmerülő kérdéseket (pláne konkrétan ezeket) matematikán belül is remekül lehet kezelni.
Egy akármilyen meta-matematika is vagy szintén egyfajta matematika, vagy ha nem az, akkor intuícióm szerint nem sok tartalmi beleszólása lehet a témába...
Nem tartalmi kérdésekbe persze beleszólhat a filozófia (mi a matematika?), de itt nem olyanokról van szó...
szemet 2014.11.01. 18:29:48
Gondoljunk arra inkább, hogy egész számokat pakolunk halmazba. 1-10ig betesszük 10et kiveszük, 11-20ig betesszük 20at kivesszük, 21-30ig betesszük 30at kivesszük, stb a végtelenségig
Végül két halmazunk lesz a 10zel osztható kivett számok, meg a 10zel nem osztható bennhagyottak.
Üres -e a tízzel nem osztható egész számok halmaza?
szemet 2014.11.01. 19:00:42
Persze ha pl. rendre 2, 4, 6 stb -t veszünk ki akkor megintcsak két végtelen halmazunk lesz (páros és páratlan számok).
Az egyik estben teljes kölcsönösen egyértelmű megfeleltésbe állítjuk a betett és kivett számokat - Cantor szerint megtehetjük mert a kardinalitásuk azonos, így mindent kiveszünk a másik esetben nem teljes a megfeleltetés és így nem veszünk ki mindent...
Pedig látszólag ugyanazt csináljuk. Ugye?
Kár is volt golyózni, számokkal még a paradoxon veleje is jobban felfogható...
FMR 2014.11.01. 19:05:40
FMR 2014.11.01. 21:57:47
namitgondolsz.blog.hu/2014/03/28/gyozz_meg_ha_tudsz
Zoltán Árpád Zselicky 2014.11.10. 08:45:23
A végtelen felezhetőség elve matematikai elv, nem pedig fizikai. Matematikai tárgyakkal kapcsolatban pedig abszurd magatartás idői fogalmakat bevonni. 1 meg 1 összege időtől függetlenül kettő. Ma délben sem lesz 3, ahogy a tavaly előtti Pi napon sem volt 3,14 még megkötzelítőleg sem. A háromszög szögeinek összege sem függ a naptári évtől, vagy a napszakoktól.
Az 'előbb' és az 'utóbb' is idői fogalmak, amik furcsa jákéba hozzák a végtelen felezhetőség elvét. Ebből apóriák számaznak, amiket Zénon példáival szépen bemutat.