HTML

<div class="fb-like-box" data-href="https://www.facebook.com/pages/namitgondolszhu/245655545444485?ref=hl" data-colorscheme="dark" data-show-faces="true" data-header="true" data-stream="false" data-show-border="false"></div>

Na, mit gondolsz?

E blogban valódi filozófia problémákat mutatunk be egyszerűen, irányzatok és idegen szavak nélkül. Ha van kedved, gondolkodj el rajtuk!

Like Box

Íme két széles körben elfogadott megállapítás a matematikáról.

(1)       A matematikai mondatok igazsága, ugyanúgy mint a többi mondat igazsága, a mondat szerkezetén, a benne szerepelő szavak jelentésén és a tényeken múlik.

(2)       Van matematikai tudásunk. Valóban tudjuk, hogy 2+2=4, hogy végtelen sok természetes szám van, stb.

Vajon lehet-e mind a kettő igaz?

Kezdjük (1)-gyel. Vegyünk egy közönséges és egy matematikai mondatot.

(a)        Van olyan nagyváros, amely régebbi New Yorknál.

(b)       Van olyan tökéletes szám, amely nagyobb 17-nél.

Mindkét mondat szerkezete az alábbi sémát követi:

                        Van olyan FG, amely R viszonyban áll a-val.

Az ilyen szerkezetű mondatok abban az esetben igazak, ha az F tulajdonságú G-k valamelyike R viszonyban van egy bizonyos a dologgal. A különbség a két mondat között csak annyi, hogy az (a)-ban és (b)-ben szereplő szavak más tulajdonságokat, viszonyokat és dolgokat jelölnek.

benacerraf1.jpgDe ez a különbség fontos: a matematikai dolgok és tulajdonságok absztraktak szemben a közönséges dolgokkal. Nincs téridőbeli pozíciójuk, és nem vesznek részt oksági kapcsolatokban. Az 5 nincs sem Pesten, sem Budán, sem Európában, sem Amerikában. Az 5 nem eszik és nem iszik, de őt sem eszik vagy isszák. Amit pedig fel lehet írni a táblára és le lehet törölni a tábláról, az nem az 5, hanem az 5-öt jelölő jel.

Térjünk rá (2)-re. Elég nyilvánvalónak tűnik, hogy a tudás megszerzéséhez megfelelő képességekre vanbenacerraf2.jpg szükség. A megismerési képességek kialakulását evolúciós úton magyarázzuk. Fejlett térlátásunk akkor alakult ki, amikor még a fák ágai között ugrándoztunk. Aki jobban becsülte meg a távolságokat, nem pottyant le, előbb érte el a banánt, stb., s így inkább hagyott hátra utódokat. Így a szelekciós nyomások a jobb térlátás irányába kormányozták azt a főemlős populációt, amelyből származunk. Persze ez még inkább csak egy magyarázat vázlata, s talán nem is ez a helyes magyarázat, de mindenesetre ilyen jellegű magyarázatra van szükség.

Csakhogy (1) nyomán oda jutottunk, hogy a matematikai mondatokat a számok, és hasonló absztrakt entitások viszonyai teszik igazzá. Nehéz elképzelni, hogy az absztrakt entitások megismerésére való képesség miféle evolúciós előnnyel járna. Egy számot nem lehet megenni, egy számmal nem lehet párzani, bár nem is fal fel Erre azt felelhetnénk, hogy legtöbb megismerési képességünk nem kecsegtet ilyen közvetlen haszonnal, hanem csak sok áttételen keresztül növeli evolúciós rátermettségünket. Pl. ha jobb vagy a hazugságok felismerésében, nagyobb valószínűséggel teszel szert magasabb státuszra a csoportban, ami anyagi előnyökkel jár. Mivel az anyagi előnyök vonzóbb partnerré tesznek, nagyobb valószínűséggel lesznek utódaid. A matematikai képességek esetében azonban ezeket az áttételeket is nehéz elképzelni. (Persze, ha jó vagy matekból, nagyobb valószínűséggel leszel bankigazgató – de hát hol voltak még bankok, amikor matematikai képességeink kifejlődtek!)

Azt is felelhetnénk, hogy a matematikai megismerés nem sajátos képességeken alapul, hanem olyan megismerési képességeken, amelyeknek igenis megvan a maga evolúciós haszna. De hát miféle megismerési képességeken? Az olyan, a tudományos megismerés során kihasznált képességeknek, mint az általános mintázatok és szabályszerűségek megragadása vagy az oksági hipotézisek felállítására való képesség, meglehet a maguk evolúciós haszna, de a matematika jelentős részben nem ilyen képességeken alapul.

Vagyis, ha alaposan utána gondolunk (1)-nek és (2)-nek, elég rejtélyesnek tűnik, hogyan lehetnek egyszerre igazak. Akkor feladjuk valamelyiket? Vagy mégis van mód az összeegyeztetésükre. Na, mit gondolsz?

Paul Benacerraf és Hartry Field nyomán

11 komment

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

ipartelep · http://ipartelep.blog.hu 2016.01.23. 23:43:42

Hogy a szóban forgó állítások igazak-e, ahhoz előzetesen két dolgot kell tisztázni: Milyen értelemben vesszük itt az "igaz" fogalmát, és pontosan mi a jelentésük az állításoknak.

Az "igaz" fogalmának legelterjedtebb értelmezése a korrespondencia-szerinti: az igaz, ami megfelel a tényeknek. Mik a tények? Az objektív(-en létező) valóság eseményei, tárgyai, törvényszerűségei, mechanizmusai. És akkor most itt rögtön kérdés lesz, hogy a matematikai absztrakciók tényeknek felelnek-e meg. Ha nem azoknak, akkor miknek, vagyis egyáltalán micsodák az absztrakciók? Ez nem túl egyszerű kérdés, de ezt most csak addig a mélységig érdemes boncolgatni, hogy kiderüljön: az absztrakciók igazsága alkalmazható, vagy értelmezhető-e a koherenciaelmélettel. Én azt gondolom, hogy bár az absztrakciók közvetlenül nem tényekre referálnak (ettől absztrakciók), de végső soron mégis tényekből "következnek", vezetettek le. Köztük, és a tények között nem közvetlen, hanem egy áttételes kapcsolat van, olyan értelemben, ahogy az objektív külvilág maga meghatározza a benne alkalmazható logikát. Ezek az absztrakt, elvont szabályok maguk a világ "szerkezeti vázát" összetartó szabályok.
Így végül is a válasz az, hogy a matematikai absztrakciókra is alkalmazható az igazság korrespondencia elve.

Most jön a mondatok jelentése, és igaza.
Az első mondat ((1) "A matematikai mondatok igazsága, ugyanúgy mint a többi mondat igazsága, a mondat szerkezetén, a benne szerepelő szavak jelentésén és a tényeken múlik.") azt állítja, hogy a matematikai absztrakciók igazsága a tényeknek való megfelelésüktől függ, továbbá még két formálisabb feltételtől, a szavak jelentésétől, és helyességétől. Ennek az állításnak az első részét fejtegettem fentebb (a második része triviálisan igaz), és ha elfogadjuk, hogy bár áttételesen, közvetve, de az absztrakciók is a világ tulajdonságaiból levezetettek, azokból eredőek, akkor kézenfekvő az igazsága.

A második mondatban ((2) "Van matematikai tudásunk. Valóban tudjuk, hogy 2+2=4, hogy végtelen sok természetes szám van, stb.") szerepel a "tudás" fogalma is, így azt is definiálni kell: igazolt, és igaz hit. (Ez egy jó tudásdefiníció.) Így ez a mondat azt állítja, hogy a matematikai tudásunk igaz, vagyis megfelel a tényeknek (ha ez a megfelelés közvetett is, ill. levezethető azokból).

Nem húzom tovább: a végeredmény az, hogy ez a két mondat nem hogy ellentmond egymásnak, hanem lényegében ugyanazt mondja. És mindkét mondat igaz is, (helyes is).

FMR 2016.01.24. 21:44:56

"A matematikai mondatok igazsága, ugyanúgy mint a többi mondat igazsága, a mondat szerkezetén, a benne szerepelő szavak jelentésén és a tényeken múlik."

Ez a megállapítás örökre megmarad a hipotézis kellemetlen, szorongató státuszában. Ahhoz ugyanis, hogy egyáltalán azt firtassuk, mi képes (filozófiailag szólva) verifikálni hitelt érdemlően ÉS teljes mértékben egy-egy matematikai igazságot, ahhoz mindenekelőtt és elsősorban tisztában kell lennünk azzal, hogy egyáltalán mi a matematika.

Vajon az igazságnak egy olyan absztrakt rendszere, amely a létező és totális valóságtól FÜGGETLENÜL is igaz módon fennáll, avagy olyasféle igazságok az emberi megismeréstől független, de a kutatás, megismerés, intuíció stb. révén fokozatosan bővülő gyűjteménye, amely a létező - racionálisan és/vagy szenzuálisan megragadható _tényekre_, illetőleg szenzuálisan és/vagy lelkileg és/vagy reflektíve birtokba vehető _tapasztalatokra_ bomló - világra reflektál, annak inherens része, tőle nem elválasztható? Ez a dilemma önmagában is egy filozófiai és tudományos probléma egyfelől. Másfelől még ha el is tudnánk dönteni e kérdést, a válasz bizonyságában nem lehetünk biztosak, a sokat emlegetett "Isteni Pozíció" elfoglalásának ember általi lehetetlensége okán.

De tegyük mindezt most mégis zárójelbe. Fogadjuk el igaznak a kijelentést, miszerint "a matematikai mondatok igazsága, ugyanúgy mint a többi mondat igazsága, a mondat szerkezetén, a benne szerepelő szavak jelentésén és a tényeken múlik." Ez a mondat azért tűnik így, ebben a formában értelmetlennek, mert a matematika próbaköve éppen hogy nem maga az empirikus világ - amely világ pont a tények sorjázására épül és azok plauzibilis leírását, narrációját involválja -, hanem a matematikát felhasználó, a matematikára építő elméleti és gyakorlati diszciplínák, amely diszciplínák éppen a fennálló világot/valóságot próbálják tudományos módon megragadni. (Megj.: világ, valóság - most e két fogalmat vállaltan szinonimákként használom, miközben a filozófiai diskurzus különbséget tesz köztük. Én ettől könnyelműen eltekintek itt.) A mondatnak - "a matematikai mondatok igazsága, ugyanúgy mint a többi mondat igazsága, a mondat szerkezetén, a benne szerepelő szavak jelentésén és a tényeken múlik" - akkor lenne értelme, ha afféle Kozmikus, Omnipotens Entitásként "rálátásunk" lenne egy bármilyen mondat szerkezetének és a benne szereplő szavak jelentései ÉS a Totális Valóság összes ténye kapcsolatára - ami elméleti és gyakorlati képtelenség, teljesen abszurd felvetés - nem utolsósorban azért, mert emberek vagyunk. Önmagában már az is abszurd és a racionalitásba vetett illuzórikus felvetés, hogy feltételezni merjük az emberi megismerésről azt, hogy a mondatok szerkezete, a szavak jelentései és a tények között minden (!) esetben képes a helyes (!) (helyes, amennyiban a matematikai igazságok megragadását validálni képes) ítéletre. A többit Ipartelep helyesen leírta.

Ami a második állítást illeti - "(2) Van matematikai tudásunk. Valóban tudjuk, hogy 2+2=4, hogy végtelen sok természetes szám van, stb." - , ezzel a kijelentéssel tudok azonosulni, de nem elsősorban azért, amit Ipartelep írt, nem azért, mert a hitünket minden esetben tudjuk igazolni és igaz hitként tudásként rögzíteni (a matematikai tudáshoz ez kevés lenne, arról nem beszélve, hogy szerintem eleve problematikus az, hogy egyáltalán ki és milyen alapon mondhatja bármely hitről végül minden kétséget kizáróan azt, hogy valamely hit igaz és igazolt - ez belső ellentmondás, ami circus vitiosushoz vezet), hanem azért, mert az ember szellemi lény (is). Ebbéli minőségében képes arra az absztrakcióra, a megismerésnek arra a minőségére, ami világosan képes különséget tenni egy különleges, absztrakt, minden tapasztalatot - és a fentiek alapján a tényismeretet is! - nélkülöző matematikai ismeret (kanti terminológiával: a priori szintetikus ítélet) és egy közönséges, hétköznapi, a tapasztalatra építő ismeret (analitikus ítélet) között. Ezen ismeret képessége a homo sapiens egyik differentia specificája, inherens attribútuma, olyan képesség, amivel a tapasztalati világot és jelenségeit elhagyva tud az ember valódi és igaz ismeretekre szert tenni, de nem azért, mert ezen ismeretek a világ/valóság tényeivel vannak vagy lennének összefüggésben, hanem azért, mert létezik az emberi szellemnek egy olyan, alapvetően az _intuíción_ alapuló képessége, amely képesség önmagában is elégséges ahhoz, hogy egyfajta - közelebből nem ismert, le nem vezethető, bizonyos értelemben - jobb híján - misztikus "belső megismerőképesség" révén, teljesen absztrakt módon is érvényes tudáshoz, ismerethez jusson. Ezek a matematikai ismeretek. Az emberi szellem tulajdonságából fakadó ismeretek. Emberi szellem, kognitív és logikus képességek és matematikai tudás egymás pandantjai. Ha egyszer megszűnik az ember és vele minden emberi képesség, megszűnik a matematikai tudás és e tudásra való képesség is. DE - és ez egy fontos de! - a világ/valóság még fennmaradhat. Matematika nélkül.

FMR 2016.01.24. 21:53:58

"Ha egyszer megszűnik az ember és vele minden emberi képesség, megszűnik a matematikai tudás és e tudásra való képesség is. DE - és ez egy fontos de! - a világ/valóság még fennmaradhat. Matematika nélkül."

Mert a valóság és a matematika két külön terrénum: ha vannak is átfedések (pl. a zene valósága), ezek immanens törvényei különböző birodalmak törvényei. A matematika valósága nem létezhet és elképzelhetetlen emberi megismerés (vagy valamilyen eszes lény megismerése) nélkül, de a világ fennállhat és nagyon is elképzelhető ember (vagy valamilyen eszes lény létezése) nélkül.

quodlibet 2016.01.24. 22:46:18

@FMR: En el tudom képzelni a világot matematikával és ember vagy más intelligens lény nélkül. Szerintem a valóság nem létezhet Matematikai igazságok nélkül, én matematikai-platonista vagyok. Isten a matematikát teremtette meg elsőnek, csak utána az összes többit.

FMR 2016.01.24. 23:01:24

@quodlibet: Isten....... Ugyan már.
A világ fennállásához NINCS szükség Istenre. 1818 óta tudható.

quodlibet 2016.01.25. 07:26:23

@FMR: Meggyőzzél, és matekra? El tudsz képzelni olyan világot ahol kettő meg ketto az három?

FMR 2016.01.25. 08:48:02

@quodlibet: Elbeszélünk egymás mellett. Én azt állítom (és elnézést, ha ezügyben félreérthető voltam), hogy a világnak, a Totális Valóságnak a fennállását, szubsztanciáját lehetővé tevő (metafizikai!) elv (független attól, hogy az racionális vagy irracionális természetű), a Kozmosz (vagy Káosz - ennek eldöntésére itt most nem vállalkozhatom) immanens természete _merőben_ független az absztrakt matematikai igazságok természetétől. Lehet himnuszt énekelni a számhoz a püthagoreusokkal, de ettől még a világ/valóság - köszöni szépen - egészen más elvek, törvények, meghatározottságok alapján működik. A szám semmit nem tud mondani például a világban megjelenő biologikumról, etikai kérdésekről, a világ morális vagy amorális mivoltáról stb.

De hogy a kérdésedre válaszoljak: nincs olyan világ, ahol kettő meg kettő az három lenne. De ennek a világ és a benne élő ember szempontjából nincs sok relevanciája. Sem filozófiai, sem másmilyen tekintetben.

quodlibet 2016.01.25. 10:10:48

Ezt írod: " nincs olyan világ, ahol kettő meg kettő az három lenne." Ezek szerint elfogadod, hogy szükségszerűen igaz, hogy kettő meg kettő az négy. Amit nem értek, hogy ez a szükségszerű igazság miképpen lehet irreleváns a világ szempontjából. Ugyanis ha szükségszerűen igaz az, hogy kettő meg kettő az négy, akkor kell legyen valami a világban, amitől szükségszerűen igaz. Ez a valami pedig szerintem azért nem lehet az ember elméjében, mert szükségszerű igazság. Hiszen maga az emberi lét is kontingens. Vagy valamit nem jól értettem?

FMR 2016.01.25. 11:11:10

" Amit nem értek, hogy ez a szükségszerű igazság miképpen lehet irreleváns a világ szempontjából."

Pedig egyértelműen fogalmaztam: a matematika igazsága és a világ/valóság igazsága, ezek törvényei két teljesen különböző "birodalom" igazságai és törvényei. A matematika tiszta, apodiktikus igazságának evidenciájából a legkevésbé sem következik az, hogy az emberrel együtt értett világ és annak összes jelensége hasonlóképp szükségszerű igazságok mentén áll fenn. (A természettudomány törvényei - pl. a kauzalitás elve - mint tudjuk, nem olyan szigorúak, mint a matematika apodiktikus igazságaoi.) Nem lehet a priori bizonyítani a világ és jelenségeinek szükségszerű fennállását és utóbbiak bekövetkeztét, ahogyan ezek merő kontingenciáját sem. (Ez az egyik híres kanti antinómia.)

"Ugyanis ha szükségszerűen igaz az, hogy kettő meg kettő az négy, akkor kell legyen valami a világban, amitől szükségszerűen igaz."

Ez téves kapcsolat, nincs okunk, alapunk ennek a feltételezésére. A matematika és annak igazságai egyszerűen nem tartoznak a világhoz, amennyiben nem jelenségei ennek.

Az már egy erős állítás lenne, ha valaki a világot racionális (a szónak 'teleologikus' értelmében) ÉS/VAGY logikus helynek tartaná, tehát olyannak, amelynek a "váza" racionális és/vagy logikus természetű. De ugye most nem erről beszélünk.

"Hiszen maga az emberi lét is kontingens."

Nem tudhatjuk. Az általában vett emberi lét és ennek egy konkrét egyede (egy individuum) léte szükségszerűsége mellett ugyanolyan erős érvek szólnak, mint amellett, hogy minden - az emberi létet is beleértve - kontingens. Filozófiai hitek vannak. Ezen a szinten - bármennyire is tragikus ez speciel számomra - sajnos nem léphetünk túl.

FMR 2016.01.25. 11:22:54

"Hiszen maga az emberi lét is kontingens."

Csak két ellenpont a filozófiatörténetből: Spinoza Etikája a szükségszerűség mellett argumentál, Sartre a radikális esetlegesség mellett. És vannak a köztes állapot mellett érvelők. Kinek van igaza? Nem tudhatjuk. Isten tudná csak, ha létezne (vagy egy isteni pozícióban lévő entitás), de jó okunk van úgy gondolni, hogy ilyen nem létezik. (Több az erős érv amellett, hogy nem létezik, mint amellett, hogy mégis.)

ZorróAszter 2016.05.22. 00:14:49

"Fejlett térlátásunk akkor alakult ki, amikor még a fák ágai között ugrándoztunk."

A térlátás sokkal régebben alakult ki, mint az ember bármely emberforma, emberszabású őse.

A matematika nem evolúciós előny, de a beszéd igen. A matematika pedig a beszéd folyománya. Legegyszerűbb formája például az, hogy ha Bumbubu több napra elment vadászni, akkor ne keresd a barlangjában, mert nem lesz ott. Ha pedig mégis azt látod, hogy épp kijön a barlangjából, abból az következik, hogy Nubumbu hazudott, mikor azt mondta, hogy elment több napra vadászni. Esetleg meggondolta magát. Stb.

Honnan lehet tudni, hogy a matematika igaz? A legvadabb absztrakt matematika kivételéve a matematika voltaképpen természettudomány. Vagyis ami kijött a képletből, az kísérletileg ellenőrizhető.